Question

参数方程的二阶导数步骤不懂

如图，黑体字的最后一个等号是怎么来的？求明白一点，可能我忘了一下概念什么的
我刚学高数，不要取笑。。

Answer 1

最后一步，d(y')/dt，实际上是d(ψ'(t)/φ'(t))dt，即以t为自变量对函数的分数求导，用(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2这个公式（草稿纸上写下，很基础的），就可以得到结果了，之后化简就是PPT中的那个

Answer 2

∵ dx/dt=φ'(t)、dy/dt=ψ'(t)；(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
∴ d[ψ'(t)/φ'(t)]/dt=[ψ'(t)/φ'(t)]'=[ψ''(t)φ'(t)-ψ'(t)φ''(t)]/[φ'(t)]^2
=> d[ψ'(t)/φ'(t)]/dt * [1/(dx/dt)]
={[ψ''(t)φ'(t)-ψ'(t)φ''(t)]/[φ'(t)]^2}*[1/φ'(t)]

Answer 3

求y对x的二阶导数仍然可以看作是参数方程确定的函数的求导方法，因变量由y换作dy/dx，自变量还是x，所以
y对x的二阶导数
＝
dy/dx对t的导数
÷
x对t的导数
dy/dt＝1/(1+t^2)
dx/dt＝1－2t/(1+t^2)＝(1+t^2-2t)/(1+t^2)
所以，dy/dx＝1/(1+t^2-2t)
d(dy/dx)/dt＝[1/(1+t^2-2t)]'＝－(2t-2)/(1+t^2-2t))^2
所以，
d2y/dx2＝d(dy/dx)/dt
÷
dx/dt
＝-(2t-2)/(1+t^2-2t))^2
÷
(1+t^2-2t)/(1+t^2)
＝(2-2t)(1+t^2)/(1+t^2-2t)^3