已知a>b>0,求证a的n次方根>b的n次方根
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证明
因为
a>0,b>0,
当n=2时
（根号a+根号b）²=a+b+2根号ab>a+b
当n大于2时
设a的n次方根为c，b的n次方根为d
则有
（c+d）的n次方=c^n+c(n,1)c^(n-1)d+c(n,2)c^(n-2)d^2+c(n,3)c^(n-3)d^3+……+c(n,n-2)c^2d^(n-2)+c(n,n-1)cd^(n-1)+d^n
且a>0,b>0，所以c>0,d>0
则有c(n,1)c^(n-1)d+c(n,2)c^(n-2)d^2+c(n,3)c^(n-3)d^3+……+c(n,n-2)c^2d^(n-2)+c(n,n-1)cd^(n-1)>0
那么（c+d）的n次方>c的n次方+b的n次方
即a的n次方根+b的n次方根>（a+b）的n次方根
因为
a>0,b>0,
当n=2时
（根号a+根号b）²=a+b+2根号ab>a+b
当n大于2时
设a的n次方根为c，b的n次方根为d
则有
（c+d）的n次方=c^n+c(n,1)c^(n-1)d+c(n,2)c^(n-2)d^2+c(n,3)c^(n-3)d^3+……+c(n,n-2)c^2d^(n-2)+c(n,n-1)cd^(n-1)+d^n
且a>0,b>0，所以c>0,d>0
则有c(n,1)c^(n-1)d+c(n,2)c^(n-2)d^2+c(n,3)c^(n-3)d^3+……+c(n,n-2)c^2d^(n-2)+c(n,n-1)cd^(n-1)>0
那么（c+d）的n次方>c的n次方+b的n次方
即a的n次方根+b的n次方根>（a+b）的n次方根
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