Question

求函数y=(x^2+7x+10)/(x+1), (x＞1)的最小值

Answer 1

最小值为: 9.
解法一（判别式法）：
∵ x>-1.
∴x+1>0
将y=(x²+7x+10)/(x+1)去分母得：
方程x²+(7-y)x+10-y=0
∵此方程有实数根.
∴△=(7-y)²-4(10-y)≥0，
解得，y≥9，或y≤1(舍).
故所求最小值为: ymin=9.
此时，代回易得：x=1。
解法二（分离常数法，均值不等式法）：
∵ x>-1.
∴x+1>0
y=(x²+7x+10)/(x+1)
=[（x+1）²+5（x+1）+4]/(x+1)
=(x+1)+4/(x+1)+5≥2√[(x+1)▪4/(x+1)]+5=9
当且仅当(x+1)=4/(x+1)时，得x=1或x=-3(舍）取等号。
所求最小值为: 9.

Answer 2

约束条件应该是: x>-1.
y=(x²+7x+10)/(x+1)
→x²+(7-y)x+10-y=0.
∴△=(7-y)²-4(10-y)≥0，
解得，y≥9，或y≤1(舍).
故所求最小值为: y|min=9.
此时，代回易得x=1。

Answer 3

简单计算一下，答案如图所示

Answer 4

令t=x+1>2
则x=t-1
y=[(t-1)²+7(t-1)+10]/t
=[t²-2t+1+7t-7+10]/t
=(t²+5t+4)/t
=t+4/t+5
>=2√(t*4/t)+5 , 当t=4/t时，即t=2时取等号
=4+5
=9
即最小值为9.