Question

怎样算一元二次方程简单 求窍门

Answer 1

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
． ①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ ；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－ ；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ ；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－ ；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
， ．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
， ；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问