Question

回答这个数学分析问题

式子中的f（sinx）连续，证明图片式子成立

Answer 1

令x=π-t
则
∫[x=0,π]xf(sinx)dx =∫[t=π,0](π-t)f(sin(π-t))d(π-t)
=-π∫[t=π,0]f(sint)dt+∫[t=π,0]tf(sint)dt
=π∫[t=0,π]f(sint)dt-∫[t=0,π]tf(sint)dt

上式中后一个积分∫[t=0,π]tf(sint)dt和原积分值相等，所以
2∫[x=0,π]xf(sinx)dx=π∫[t=0,π]f(sint)dt
∫[x=0,π]xf(sinx)dx=π/2*∫[t=0,π]f(sint)dt
所以要证式子的右端少了乘以1/2.