已知三角形ABC,角ABC与角ACB的角平分交与I，过I作DE垂直AI，求角IBC=角EIC
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证明：设BI的延长线交AC于F
∵DE⊥AI
∴∠AIF＋∠EIF＝90°
∵∠BAI＋∠ABI＝∠AIF
∴∠BAI＋∠ABI＋∠EIF＝90°
∵I为两条角平分线的交点
∴I为△ABC内心
∴AI平分∠BAC
∴∠BAI＝0.5∠BAC
又∵∠ABI＝0.5∠ABC，∠BCI＝0.5∠ACB
∴∠BAI＋∠ABI＋∠BCI＝0.5(∠BAC＋∠ABC＋∠ACB)＝90°
∴∠EIF＝∠BCI
∵∠IBC＋∠BCI＝∠CIF，又∠CIF＝∠EIC＋∠EIF
∴∠IBC＝∠EIC
∵DE⊥AI
∴∠AIF＋∠EIF＝90°
∵∠BAI＋∠ABI＝∠AIF
∴∠BAI＋∠ABI＋∠EIF＝90°
∵I为两条角平分线的交点
∴I为△ABC内心
∴AI平分∠BAC
∴∠BAI＝0.5∠BAC
又∵∠ABI＝0.5∠ABC，∠BCI＝0.5∠ACB
∴∠BAI＋∠ABI＋∠BCI＝0.5(∠BAC＋∠ABC＋∠ACB)＝90°
∴∠EIF＝∠BCI
∵∠IBC＋∠BCI＝∠CIF，又∠CIF＝∠EIC＋∠EIF
∴∠IBC＝∠EIC
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