Question

变限积分可导,导函数一定连续吗？

Answer 1

1、对变限积分求导 differentiation under integral sign，

结果一定是连续函数，而不可能是震荡型的函数。

2、因为积分时，只要函数连续即可，无可导的要求；
连续函数的积分，根据定义，是无穷个无穷小的累积，
就不可能出现震荡，而必定连续。

3、反过来说，如果原先是震荡的函数，积分就发散；
对于不定积分，似乎跟奇点无关，如对tanx积分，
那这是表面上的无关，而在原理上、理论上，依然
必须在无奇点 singularity 的区间上积分。

4、积分一定要有一个限，或上限、或下限，是变量，
再求导是逆运算，是返回原来的函数，所以，
连续是必然的，震荡是不可能的。

追问

可是函数可积，只要满足函数连续或者函数有界且有有限个间断点就可以了，那么如果一个函数有界且有有限个振荡间断点，那么函数不就有可能有原函数且可积吗？

追答

1、
“可是函数可积，只要满足函数连续或者函数有界且有有限个间断点就可以了”

这话从何而来？书上的吗？
有限个间断点就可积？无穷型间断点也可以？tanx 的积分能越过½π吗？
如果这是你的课本，或你的老师说的，那这本书该赶紧付之一炬，这位
老师赶紧得送医院就医。

2、
那么如果一个函数有界且有有限个振荡间断点，那么函数不就有可能有原函数且可积吗？

震荡有两种，只要不是无穷型的震荡，积分哦过程依然是无穷小的累积，
就不会造成积分结果的震荡。

连续就可积，可积并不一定要连续，只要不是无穷型震荡即可，仍然
可以分割，用黎曼积分。

追问

按照第二点理解的话，“只要不是无穷型震荡即可”，也就是说变限积分可导,导函数就不需要连续了？

追答

第二点是指：
A、被积函数连续，就一定可以积分；
B、如果在连续区间内积分，只要不是故定点积分到固定点，
也就是说，或上限，或下限，不是固定数，而是变量；
C、在这样的情况下，对变限积分的求导就一定可导。

Answer 2

这个具体情况具体分析吧

追问

是不是导函数有可能存在振荡间断点和连续两种情况？

追答

依赖于求出的导函数的具体形式啊，

追问

那么如果一个函数有界且有有限个有界振荡间断点，那么函数是不是就有可能有原函数且可积？也就是说变限积分可导,导函数不需要连续？