Question

无穷级数的加法法则是怎么样的，是第一项加第一项，还是可以错开加，为什么不一样的加法得到不一样的结果

无穷级数的加法法则是怎么样的，是第一项加第一项，还是可以错开加，为什么不一样的加法得到不一样的结果，无穷级数的加法法则的定义是怎样的，求解答

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Answer 1

是按顺序加的！但是如果级数是绝对收敛的怎么加都无所谓，它的和都收敛于同一个数，如果不是，那么你可以通过调整级数的项得到你想要的任意数，包括无穷大！请参考：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/黎曼级数定理

追问

那你看看图片的前一道题，顺序变了加，答案就不一样了，加法的法则是什么

追答

追问

我先看看，有不懂的再问你，谢谢你帮我解答

追答

不用客气~

追问

我还有一个问题，那我第二张图片里的解答是不是也是有问题的，你帮我做的是第一张的那个矛盾，另外一个怎么做

哦，我明白了，

追答

能把第二张图片放大一些吗？看不太清楚~

追问

那这个里面的级数是满足绝对收敛的吗？因为这个随便加了以后是满足的，所以他的级数是不是绝对收敛的

刚拍你的那个图片，级数是条件收敛，但是他们相加和没有发生变化，这是什么情况

追答

追问

你说这一步开始错那里，他虽然随意相加了，但是和都是三分之派啊，而你算出来的也是那个值啊，那不是成立的吗？

追答

这个级数不是绝对收敛的，根据Fourier级数展开它的结果确实是三分之派，对于这个结果只是巧合了，结果正确不代表过程正确~

追问

哦，好的，我再研究研究

追答

嗯、

追问

这个不就是我发你的图片上的做法吗

这个做法是两个级数相加，前提是绝对收敛，但是这里的级数不是绝对收敛，而是条件收敛，怎么可以加呢

追答

注意：于是后面是移向（把所有的3k-1项移到I的一边）得到的，而不是通过加上I/3得到的，否则后面的（6）、（7）就没必要再去解释（3）为什么出现了加法法则的问题了！

追问

嗯嗯，我再看看

我仔细看了下，你给我写的还是我发你的图片上的做法，你说的那些移项，还有那些通项公式的加减，其实他们就是代表两个无穷级数的加法是按某一项加某一项，而我这里的最主要的问题是想问，两个级数相加，到底是不是第一项与第一项，第二项与第二项相加，从而得出结论

追答

是一项一项的加，但也有一些性质，改变它们的加法方式不影响结果！看下面定理：

下面又说道级数的重排之后的结论：

追问

这个我都知道

追答

那你认为是怎么加的，可以随便加？

追问

我的意思是第一项与第一项相加，还是可以第一项与第二项相加，如果可以的话，就相当于重拍了，然后不是绝对收敛的不是不能重排嘛

追答

上面（a）已经证明了，级数按照某种方式重排后不改变它的结果！

追问

那为什么会有矛盾出现

追答

问个简单点的问题，把一个级数的第一项和第二项交换，这是一种重排吧，这样会不会改变级数的值？定理只是说，级数可以经过一定（某种）方式重排得到你想要的任何值，并没有说，重排后的结果一定改变！

追问

之前说一定要绝对收敛才能随便加，现在说实数级数满足a那个定理，

追答

满足绝对收敛是说随便，这种随便是任意性的，可以任意排序而不改变级数的值。什么叫任意，明白？而级数满足（a）那个定理，这只是一个特例（重排的一种特例）！如果换成另外一种方式重排，不是绝对收敛，级数的结果可能就会改变！，而绝对收敛的级数无论你怎样重排结果都不会变！

追问

A的特例是什么

实数级数？

追答

就是an、bn都是实数。要什么特例，你自己随便举，只要这两个级数分别收敛就行了！

追问

哦，那那个矛盾，an. Bn不也是收敛的嘛，也是实数阿，怎么就不能加了

追答

如果在证明过程中说明他们各自收敛就可以！如果不说明这一点而直接就重排级数，得到的结果就有可能是错误的！

追问

我这里不是证明，我要做的是两个级数加起来，求他们的和

追答

那就得说明两个级数是分别收敛的

追问

那分别收敛，然后加起来，就是他们的收敛值加起来，就是前面那个矛盾的阿

追答

哪里矛盾了？你按照（a）写出来看看

追问

追答

追问

行吧，先这样，我再整理一下

追答

呃、

追问

刚那个a是哪个资料上的定理

追答

陶哲轩实分析，华东师大的只有关于正项级数的相关表述。

追问

是书，还是论文

追答

书、

追问

好的

Answer 2

收敛才可以加 不然没意义