Question

计算∫∫根号1+z ds 其中∑为锥面z=根号x2+y2 被平面z=1 所割下的那部分

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励10（财富值+成长值）+提问者悬赏60（财富值+成长值）

Answer 1

Gauss公式. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 1 + 1 + 2z - 2 = 2z ∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy = ∫∫∫Ω 2z dxdydz = 2∫(0→1) z dz ∫∫Dz dxdy = 2∫(0→1) z * πz² dz = 2π * (1/4)[ z⁴ ]|(0→1) = 2π * (1/4) = π/2 普通方法.Σ₁：z = √(x² + y²)下侧、Σ₂：z = 1上侧 ∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy = ∫∫Σ₁ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy + ∫∫Σ₂ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy = - ∫∫D (- P * ∂z/∂x - Q * ∂z/∂y + R) dxdy + ∫∫D (1 - 2) dxdy = - ∫∫D [- x * x/√(x² + y²) - y * y/√(x² + y²) + (z² - 2z)] dxdy - ∫∫D dxdy = - ∫∫D [- x²/√(x² + y²) - y²/√(x² + y²) + (x² + y²) - 2√(x² + y²)] dxdy - π(1)² = - ∫∫D [x² + y² - 3√(x² + y²)] dxdy - π = - ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) (r² - 3r)r dr - π = - 2π * [1/4 * r⁴ - r³]|(0→1) - π = - 2π * (1/4 - 1) - π = π/2