Question

关于高中数学导数的一道题

若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+(15/4)x-9都相切,则a的值为?
这道题答案其中一个答案的-1怎么来的我不是很懂，网站上的解释是直线过（3/2,27/8）,(1,0) (3/(2a),(63-72a)/8a)
推出a=-1
这个怎么出来的？

Answer 1

∵y=x^3,∴y'=3x^2
设切线与曲线y=x^3的切点为(m,m^3)
那么切线的斜率k=3m^2
∵切线过点(1,0)和(m,m^3)
∴k=(m^3-0)/(m-1)=3m^2
2m^3-3m^2=0
∴m=3/2,k=27/4
设切线与曲线y=ax^2+(15/4)x-9的切点是(n,an^2+(15/4)n-9)
∵y=ax^2+(15/4)x-9,y'=2ax+15/4
∴k=2an+15/4=27/4,∴a=3/(2n)
又∵k=[an^2+(15/4)n-9-0]/(n-1)=27/4
∴n=-3/2,a=-1.

Answer 2

导数的性质
1.①(u±v)'=u'v+v'u
②(uv)'=u'v+v'u
③(u/v)'=(u'v-v'u/v^2)
有关导数的题目类型有①已知原函数求在某其上某点的斜率、切线方程等②求圆锥曲线的切线方程，常见的出题是抛物线的切线③求某些函数的最值
比如说，求函数y=x^2在(1,1)点的切线方程，就先求出其导数y'=2x，进而直接套用公式y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),求出其切线方程为y=2x-1