Question

高中解析几何

已知C1:x²/2+y²=1,C2:y²=4x
求与C1C2均相切的直线m的方程
与抛物线只一个交点一定是相切么？相交还不是可以

Answer 1

C1:x²+2y²-2=0,
C2:y²-4x=0

1°若直线m与x轴垂直，那么设m的方程为x=a,则
∵m与C2相切，所以m与C2有且只有一个公共点，∴a=0
但是x=0与C1并不相切，矛盾；

2°若直线m不与x轴垂直，设直线m的方程为y=kx+b，于是
C1:x²+2(kx+b)²-2=0
整理有（2k²+1)x² + 4kb·x + 2b²-2 = 0 ...①
C2:(kx+b)²-4x=0
整理有k²x² + (2kb-4)·x + b² = 0 ...②
由题意，方程①②的判别式均为0，也就是
2k²-b²+1=0且-4kb+4=0
解得，k=√2/2,b=√2或 k=√2，b=√2/2
因此y =√2/2 ·x + √2 以及 y = √2·x+√2/2 为所求。

综上，经检验，求与C1C2均相切的直线m的方程为
y =√2/2 ·x + √2 以及 y = √2·x+√2/2。

PS:
抛物线与直线只有一个交点意味着或者相切，或者直线与抛物线的对称轴平行（或重合）。