证明f(x)=1/x^2为(0,1)上的无界函数。

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霖霖箖
高能答主

2021-10-27 · 学习是一条永无止境的路,努力才出彩人生。
霖霖箖
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任意的正数A (考虑A>1即可)

存在 x0=1/2√A∈(0,1)

f(x0)=1/(A/4)=4A>A

所以函数y=1/x^2在(0,1)内无界

无界函数与无穷大量两个概念之间的区别:

1、无界函数的概念是指某个区间上,若对于任意的正数,总存在某个点,使得绝对值f(x)大于等于m,则称该函数是区间上的无界函数;

2、无穷大量是指在自变量的某个趋限过程下的因变量的变化趋势,若对于任意正数,总存在对一切满足,则称函数是无穷大量。

罗尔(Rolle)中值定理是微分学中一条重要的定理,是三大微分中值定理之一,其他两个分别为:拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。

罗尔定理描述如下:

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。

证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:

1. 若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。

2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理,可导的极值点一定是驻点,推知:f'(ξ)=0。

另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。

bshsxjakcjajcs
2018-11-04
知道答主
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对于任意的xo=1/根号下M+1 有|f(x)|=1/xo²=M+1>M,所以f(x)在(0,1)上无界
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匿名用户
2015-10-28
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不会做
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