Question

已知在正方形ABCD中,P是对角线AC上任意一点,过P点作EF和GH 分别平行于BC和AB,交各边与E,F,G,H.求证;E,F,G,

已知在正方形ABCD中,P是对角线AC上任意一点,过P点作EF和GH 分别平行于BC和AB,交各边与E,F,G,H，求证点E,F,G,H,四点在同一圆上。
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Answer 1

因为ABCD是正方形
P在对角线上
（因为题上没说EP=GP，所以假设EP=GP）
EP=GP,FP=HP
所以EP*GP=FP*GP
所以EFGH共圆

Answer 2

在一个圆上，圆心为AC的中点：
因为EF、GH分别平行于BC、CD，
所以四边形AEFD、ABGH均为矩形，
故 EF=AD=AB=GH；
又∠APE=∠PAD=45度=∠EAP，故 AE=EP=，得矩形AEPH为正方形；
设AC的中点为M，连接ME、MF、MG、MH，
由正方形的对称性得 ME=MH；
又因为 M在AB、AD的垂直平分线上，
所以 M 也在 EF、GH的垂直平分线上，故 ME=MF、MG=MH，
所以得 ME=MF=MG=MH，
于是，M点为E、F、G、H四点所在的圆的圆心.

Answer 3

那换种方法吧
方法 把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．

因为E,H,G,F都经过P点，且GH//AB EF//BC
所以EF垂直于GH 、
连结HF,EG
因为EF垂直于GH
所以∠EPG=∠HPF=90度
所以四点共圆

Answer 4

dsfdsa