Question

一个数学集合问题！

已知集合A=｛x/f(x)=x},B=｛x/f[f(x)]=x｝，其中函数f(x)=x^+ax+b(a,b属于R）。
（1）若A=｛-1，3｝，求集合B。
（2）若A是单元素集，则A,B之间的关系如何？
（3）一般情况下，猜A与B之间的关系，并证明.
各位速度，谢谢我在线等！！！！！

Answer 1

1.f(x)=x,即x²+ax+b=x
x²+(a-1)x+b=0
∵A={ -1,3} 说明上面方程的两根是-1和3
由韦达定理知-1+3=1-a -1×3=b
所以a=-1 b=-3 此时f(x)=x²-x-3
则f[f（x）]=f²(x)-f(x)-3=(x²-x-3)²-(x²-x-3)-3
f[f（x）]=x可化为 (x²-x-3)²-(x²-x-3)-3=x
整理得 (x²-x-3)²-x²=0
(x²-x-3+x)(x²-x-3-x)=0
(x²-3)(x²-2x-3)=0
解得x=√3，-√3，-1,3.
∴集合B={√3，-√3，-1,3}。

2.A到B:f(x)=x --> x²+ax+b=x -->x²+(a-1)x+b=0 只有一个根-->(a-1)²-4*1*b=0得出a,b关系。继而得到A中元素。
再到B中代入f(x²+ax+b)=x,解出这个方程（代入a,b关系）得到B中的元素。
对比A，B中元素，A=B

3.对任意的元素a属于A，有f(a)=a，则对于集合B：f[f(a)]=f[a]=a。即A中的任何元素都在B中，所以集合A包含于集合B