Question

问: 一道线代证明题 求过程 设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs

问: 一道线代证明题 求过程
设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs是V的一组向量,且有n*s矩阵满足
（β1，β2…βs）=（α1，α2，…αn）A
证明：矩阵A的秩等于向量组β1,β2…βs的秩

Answer 1

设rankA=r，A=（aij）nxs 设A前r列为极大线性无关组
β1=a11α1+a21α2+……+an1αn
……
βr=a1rα1+a2rα2+……+anrαr
……
βs=a1sα1+a2sα2+……+ansαr
下证β1，β2，……βr为极大线性无关组
1.β1，β2，……βr线性无关：
令k1β1+k2β2+krβr=0
由上面则得
a11k1+a12k2+……+a1rkr=0
a21k1+a22k2+……+a2rkr=0
……
an1k1+an2k2+……+anrkr=0
又rankA=r 故方程组只有零解
则k1=……=kr=0 则β1……βr线性无关
2.任意添加向量βj后 β1……βr，βj线性相关
跟上面一样根据线性方程组系数矩阵的秩和解的个数的关系则得k1……kj不全为零 从而线性相关
综上12证得β1……βr为极大线性无关组从而
r=dim（L（β1，β2……βs））=rankA

Answer 2

假设阿尔法向量组就是标准基，即构成单位矩阵，那么结论显然成立。

追答

如果不是标准基，那么可以对阿尔法向量组左乘一个可逆矩阵B, 化为标准基。化为上述情况。贝塔向量组左乘可逆阵不改变秩。

Answer 3

这道问题还是比较难的，。
建议你直接去问你的导师比较好啊。
他还可以给你专业的解释。
希望我的回答能对你有所帮助。

Answer 4

虽然我不知道，但是希望能对你有所帮助