Question

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，详细题目如下

Answer 1

（1）因为m+n≠0,所以m≠-n，
不妨设m<-n,
因为函数为奇函数，
f(n)=-f(-n),
而[f(m)+f(n)]/(m+n)>0
所以[f(m)-f(-n)]/[m-(-n)]>0
故f(m)<f(-n).
同理，当m>-n时，f(m)>f(-n).
所以函数是增函数。
（2）由（1）知，x+1/2<1/(x-1)
再由此函数的定义域知，-1≤x+1/2≤1,-1≤1/(x-1)≤1,
联立不等式组，即可算出答案了。
（3）由（1）知，函数的最大值为1，所以对于x∈[-1,1],a∈[-1,1]不等式恒成立的等价条件是1≤t^2-2at+1恒成立。
也就是t^2-2at≥0对于x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立。
转化为：t(t-2a)≥0
当t=0时，成立。
当t>0时，t-2a≥0对于a∈[-1,1]恒成立
则t≥2a恒成立，t≥2
当t<0时，t-2a≤0对于a∈[-1,1]恒成立
则t≤2a恒成立，t≤-2
综上可得t的取值范围为：
t=0,t≥2,t≤-2.