Question

已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰

已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。

Answer 1

解：若△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC=90°，
设B、C两点的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），x1＜x2，则x1、x2是方程x2-（m2+8）x+2（m2+6）=0的两个根，
∴x1+x2=m2+8，x1•x2=2（m2+6），
∴x1＞0，x2＞0，
∴BC=x2-x1，
∵（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（m2+8）2-8（m2+6），
=（m2+4）2，
∴BC=m2+4，
∵由抛物线的顶点坐标可知，A点的纵坐标为，
=2（m2+6）- ，
∴AD= -2（m2+6），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=2AD，
∴m2+4= -4（m2+6），
解得m2=-2＜0，m2=-4＜0，都无意义．
故答案为：不存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形．