Question

O是平O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC）.

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC）.λ∈[0，+∞）
|AB|sinB和|AC|sinC 是做分母的 问 P点一定过三角形的什么心
且如何证明

Answer 1

AB是指向量AB对吧？

特殊法:当ABC为RTΔ(A=90°)时，P与A重合。而RTΔABC中A为三角形的垂心。此时λ=0符合题意。

一般法:AB/|AB|是方向沿AB的单位向量，记为c向量（对角C),同理记AC/|AC|为单位向量b。将向量OA移至左边，左式即为向量AP。由于等式两边都是向量(λ不为0)，因此同时乘以一个向量，等式仍然成立。同乘向量BC，左式为（向量)AP·BC，右式变成-|c|·|BC|+|b|·|BC|。提取公因式得右式=|BC|(|b|-|c|)。由于b、c皆为单位向量，故二者模长都为1，因此右式为零，所以左式也为零，故有AP垂直于BC，即P点轨迹必过ΔABC的垂心。

证毕。

补充的回答：右边乘BC向量后可以写成λ[(c·BC)/cosB+(b·BC)/cosC]，你画个图看看，AB与BC的夹角是∏-B，所以c·BC=|c|·|BC|·cos(∏-B)=-|c|·|BC|cosB，和分母上的cosB约了就是-|c|·|BC|。(b·BC)/cosC如法炮制。