Question

在RT三角形中，角ACB=90度，AC=BC，D为BC中点，CE垂直AD，垂足为E，BF平行AC交CE延长线于F。

在RT三角形中，角ACB=90度，AC=BC，D为BC中点，CE垂直AD，垂足为E，BF平行AC交CE延长线于F。求证，AB垂直平分DF

Answer 1

证明：因为BF‖AC

所以∠ACD+∠CBF=180°

∠ACF=∠BFC

又因为∠ACB=90°，∠CEA=90°

所以∠CBF=90°

∠CAD+∠ACF=∠CAD+∠ADC=90°

即∠ACF=∠ADC

所以∠ADC=∠BFC

所以∠BFC=∠ADC

在△ADC和△CFB中

AC=CB

∠ACB=∠CBF=90°

∠ADC=∠BFC

所以，由角角边定理△ADC≌△CFB

所以CD=BF

因为CD=BD

所以BD=BF

所以AB垂直平分DF（到线段两端点距离相等的点必在线段垂直平分线上）