Question

数学奥林匹克试题

Answer 1

（1）70-[70/X]X+110-[110/X]X+160-[160/X]X=50
化解得:290=[70/X]X+[110/X]X+[160/X]X
即:290/X=[70/X]+[110/X]+[160/X]
因为等号右边为整数,所以290/X必为整数
所以X=1、10、29或290
代入得X=29
（2）7吧。举例来试过的，但不会证
（3）Sn＝（首项＋末项）*项数÷2
这个数可以表示成9个连续自然数的和
则能被9整除；同理可被5、11整除，
所以应该为495K（K为正整数）
K从1依次代入检验，K=1时就成立，
所以最小为495

Answer 2

1:这个数减去50后能整除70，110，160
所以就是70，110，160的公倍数
这种数的最小值是6210
2：一个数除以9的余数可以通过将这个数的各位数值相加化简若不是个位数字
可再按上方法相加知道剩个位数字
这个个位数字就是除以9的余数
所以(PM+PN)*9=（4+0+8+4）/9=1余7
3：设9个连续自然数的中间的数字为a
10个连续自然数的平均数为b
11个连续自然数的中间数字为c
则9a=10b=11c
因为是自然数
所以a大于等于5
且a为自然数
b大于等于4.5
且b一定是x.5
c大于等于6
且c为自然数
所以10b的尾数为5
因为10b=11c
可得c的尾数为5
分别将c=15、25、35、45……代入
正好11×45可以被9整除
所以满足条件最小的自然数是495