Question

在三角形ABC中,三个内角A、B、C对应边分别是a、b、c，已知c=3,C=60度，a+b=5,则cos((A-B)/2)的值为？

RT

Answer 1

解：

C=60°，A+B=120°，c=3，a+b=5，

cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2，

整理，得

3ab+9=(a+b)²=25,

得ab=16/3,

∴
cosA+cosB
=(b²+c²-a²)/(2bc)+(a²+c²-b²)/(2ac)
=[ab(a+b)+c²(a+b)-(a+b)(a²-ab+b²)]/(2abc)
=5/6,

∵cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=(1/2)[cosA+cosB]
=5/12,

而cos[(A+B)/2]
=cos60°
=1/2,

∴cos[(A-B)/2]=5/6,

谢谢！

Answer 2

设外接圆半径为R,则2R=c/sinC=2√3.
由a+b=5和正弦定理得
2（√3）（sinA+sinB)=5,
∴4（√3）sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=5,
sin[(A+B)/2]=(√3)/2,
∴cos[(A-B)/2]=5/6.