Question

已知函数f(x)=2a+1/a-1/a^2x,常数a>0 (1)设m*n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增 (2)o<m<n且f(x)的定义域

Answer 1

题目是这个吧
已知函数f(x)=2a+1/a-1/a^2x,常数a>0
(1)设m*n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增
(2)o<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m,n]，求常数a的取值范围

(1)∵f（x）= （2a＋1）/a－1/a²x =（－1／a²）／x＋（2a＋1）/a 且a＞0
∴1／a²＞0 ∴－1／a²＜0
（这题类似反比例函数y=k／x，k≠0相当于k=－1／a²）
∵反比例函数y=（－1/a²）／x在[m，n]为增函数。（画出图像即可）
又f（x）的单调性与反比例函数y的单调性相同。
∴函数f（x）在[m，n]上单调递增。

（2）∵f（x）的定义域和值域都是[m，n]， （0＜m＜n）
由（1）知，f（x）= （－1／a²）／x＋（2a＋1）／a ，（a＞0）在区间[m，n]上为增函数。
∴f（x）min=f（m）=（－1／a²）／m＋（2a＋1）／a =m ， ①
∴f（x）max=f（n）=（－1／a²）／n＋（2a＋1）／a =n， ②
结合题意，又由①②知，对于方程（－1／a²）／x＋（2a＋1）／a = x有两个异正实根m，n。
即：方程x²－[（2a＋1）／a ）]x＋1／a²= 0有两个异正实根m，n。
∴判别式Δ=[（2a＋1）／a ）]²－4•1•1／a²＞0
即：[（2a＋1）²－4]／a²＞0 ＜＝＞（2a＋1）²－4＞0，∴（2a－1）•（2a＋3）＞0
∴a＜－3／2 或a＞1／2 ，又a＞0 ∴a＞1／2
由韦达定理得：m＋n =（2a＋1）／a =2＋1／a＞0 ③
m•n=1／a²＞0 ④
显然③④对于a＞1／2时成立。
∴a＞1／2
∴a的取值范围为（1／2，＋∞）

分多点吧