Question

求极限limx->0（sinx/x)^(1/x^2)

Answer 1

这个是个0^∞型极限
（sinx/x)^(1/x^2)=e^{(1/x^2)ln(sinx/x)}
对(1/x^2)ln(sinx/x)罗比达
得(cotx-1/x)/2x然后化简下得(xcosx-sinx)/2x^2sinx
无穷小替换sinx得(xcosx-sinx)/2x^3
继续罗比达得-1/6
所以原式极限为e^(-1/6),

Answer 2

先取自然对数
limx->0ln（sinx/x)^(1/x^2)
=limx->0(lnsinx-lnx)/x^2(这是0/0型，运用洛必达法则）
=limx->0(cosx/sinx-1/x)/2x
=limx->0(xcosx-sinx)/(2x^2sinx)
=limx->0(cosx-xsinx-cosx)/(4xsinx+2x^2cosx)
=limx->0-xsinx/(4xsinx+2x^2cosx)
=limx->0-sinx/(4sinx+2xcosx)
=limx->0-cosx/(4cosx+2cosx-2xsinx)
=-1/6
所以limx->0（sinx/x)^(1/x^2)＝e^(-1/6)