Question

一道数学题 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，AD⊥l于点D，BE垂直l于点E

如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，AD⊥l于点D，BE垂直l于点E。
1.求证：一。△ADC全等于△CEB。二。DE=AD+BE
2.当直线l绕点C旋转到（第二个图）的位置时，DE,AD,BE具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想。

Answer 1

1.一 因为AD⊥l,BE⊥l(已知)
所以∠ADC=∠BEC=90°(垂直定义)
因为 ∠ACD+∠DAC=90°
∠ACD+∠BCE=90°
所以∠DAC=∠BCE(同角的余角相等)
在△ADC和△CEB中
因为∠ADC=∠BEC=90°
∠DAC=∠BCE
AC=BC
所以△ADC全等于△CEB(AAS)

二.因为△ADC全等于△CEB
所以CD=BE
AD=CE
因为DE=DC+CE
所以DE=AD+BE

2.DE=AD-BE
证明:因为AD⊥l
BE⊥l
所以∠ADC=∠BEC=90°
因为∠ACD+∠BCD=90°
∠ACD+∠CAD=90°
所以∠BCD=∠CAD(同角的余角相等)
在△ADC和△CEB中
因为∠ADC=∠BEC=90°
∠CAD=∠BCD
AC=BC
所以△ADC全等于△CEB(AAS)
所以AD=CE
BE=CD
因为DE=CE-CD
所以DE=AD-BE

Answer 2

∠ACD=180°-∠ACB-∠BCE=90°-∠BCE=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，∠ADC=90°=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
可得：△ACD和△CBE全等。就有：AD=CE，CD=BE，
所以，DE = CE+CD = AD+BE

猜想 DE+BE=AD
证明：
AD⊥L BE⊥L 设l和AB交点是G
∴ AD//BE，∠CAD=∠BCE
所以∠DAG=∠EBG
又BC=AC
∴RT△CEB≌RT△ACD （HL定理）
所以AD=CE
BE=CD
又CE=DE+CD
所以AD=DE+BE

Answer 3

证明1：∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°
∵∠DAC+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠BCE
在⊿ADC和⊿CEB中，
∵∠D=∠CEB=90°,∠DAC=∠BCE,AC=BC
∴⊿ADC≌⊿CEB
证明2：∵∠ACD+∠ECB=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠ECB
在⊿ADC和⊿CEB中，
∵∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC=∠ECB,AC=BC
∴⊿ADC≌⊿CEB,∴AD=CE,CD=BE
∴AD=DE+BE