Question

几何问题

如图,AD是三角形ABC的角平分线，DE,DF分别是三角形ABD和三角形ACD的高.求证：AD垂直平分EF

Answer 1

设AD交EF于点K。
因为AD是角平分线，所以角EAD=角FAD。
因为DE，DF是高，所以角ADE=角ADF。（等角的余角相等）
所以三角形ADE全等于三角形ADF。（判定：ASA）
所以AE=AF。
所以三角形AEK全等于三角形AFK。（判定：SAS）
所以角AKE=角AKF，且EK=FK。
所以角AKE=角AKF=90度。
所以AD垂直平分EF。

Answer 2

（设AD与EF相交于点G）
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∠AED=∠AFD=90°，AD=AD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴ED=FD，∠ADE=∠ADF
又DG=DG
∴△EDG≌△FDG(SAS)
∴∠EGD=∠FGD=90°，EG=FG
∴AD垂直平分EF