Question

如图所示，点C是线段AB上任意一点（C点与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD

Answer 1

证明：∵△ACM和△BCN都是正三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，BC=CN．
∵点C在线段AB上，
∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°．
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°．
即∠NCA=∠BCM=120°．
∵在△ACN和△MCB中，

AC=CM
∠ACN=∠BCM
CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴∠ANC=∠MBC．
∵在△PCN和△QCB中，

∠ANC=∠MBC
∠MCN=∠BCN
CN=CB

，
∴△PCN≌△QCB（AAS）．
∴PC=QC．
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形．
∴∠PQC=60°，
∴∠PQC=∠QCB．
∴PQ∥AB．
或
因为三角形ACM和三角形BCN是全等三角形
所以AC=MC
所以∠MCA=∠NCB
所以∠MCA+∠MCN=∠NCB+∠MCN
所以∠ACN=∠MCB
所以CN=CB
在△ACN与△MCB中
｛AC=MC
∠ACM=∠MCB
CN=CB
所以△ACN≌△MCB(SAS)