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2001年全国数学联赛答案

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Answer 1

2001年全国高中数学联赛试题讲解

广隶 段智毅

与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分．为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考．
�一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
�1.已知a为给定的实数，那么集合M＝｛x｜x2－3x－a2＋2＝0，x∈R｝的子集的个数为（ ）．
�A．1 B．2 C．4 D．不确定
�讲解：M表示方程x2－3x－a2＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4a2＞0，所以M含有2个元素．故集合M有22＝4个子集，选C．
�2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
�命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
�命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
�以上三个命题中正确的有（ ）．
�A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
�讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选B．
�3．在四个函数y＝sin｜x｜、y＝cos｜x｜、y＝｜ctgx｜、y＝lg｜sinx｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．
�A．y＝sin｜x｜ B．y＝cos｜x｜
�C．y＝｜ctgx｜ D．y＝lg｜sinx｜
�讲解：可考虑用排除法．y＝sin｜x｜不是周期函数（可通过作图判断），排除A；y＝cos｜x｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除B；y＝｜ctgx｜在（0，π／2）上是减函数，排除C．故应选D．
�4．如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（ ）．
�A．k＝8 B．0＜k≤12
�C．k≥12 D．0＜k≤12或k＝8
�讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论D．
�说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除A、B、C．
�5．若（1＋x＋x2）1000的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2000x2000，则a0＋a3＋a6＋a9＋…＋a1998的值为（ ）．
�A．3333� B．3666� C．3999� D．32001�
�讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．
�取ω＝－（1／2）＋（／2）i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0．
�令x＝1，得
�31000＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2000； ①
�令x＝ω，得
�0＝a0＋a1ω＋a2ω2＋…＋a2000ω2000； ②
�令x＝ω2，得
�0＝a0＋a1ω2＋a2ω4＋a3ω6＋…＋a2000ω4000． ③
�①＋②＋③得
�31000＝3（a0＋a3＋a6＋…＋a1998）．
�∴a0＋a3＋a6＋…＋a1998＝3999，选C．
�6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
�A．2枝玫瑰价格高 B．3枝康乃馨价格高
�C．价格相同 D．不确定
�讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元，则由题设得

6x＋3y＞24，

①

4x＋5y＜22．

②

�问题转化为在条件①、②的约束下，比较2x与3y的大小．有以下两种解法：
�解法1：为了整体地使用条件①、②，令6x＋3y＝a，4x＋5y＝b，联立解得x＝（5a－3b）／18，y＝（3b－2a）／9．
�∴2x－3y＝…＝（11a－12b）／9．
�∵a＞24，b＜22，
�∴11a－12b＞11×24－12×22＝0．
�∴2x＞3y，选A．

图1

�解法2：由不等式①、②及x＞0、y＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2x－3y＝2c，则c表示直线l：2x－3y＝2c在x轴上的截距．显然，当l过点（3，2）时，2c有最小值为0．故2x－3y＞0，即2x＞3у，选A．
�说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：
�已知函数M＝f（x）＝ax2－c满足：－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，那么f（3）应满足（ ）．
�A．－7≤f（3）≤26 B．－4≤f（3）≤15
�C．－1≤f（3）≤20 D．－28／3≤f（3）≤35／3
�（2）如果由条件①、②先分别求出x、y的范围，再由2x－y的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文〔1〕．
�二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
�7．椭圆ρ＝1／（2－cosθ）的短轴长等于______________．
�讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率e和焦参数p（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长．

解法1：由

ρ（0）＝a＋c＝1，

得

a＝2／3，

ρ（π）＝a－c＝1／3，

c＝1／3．

�从而b＝／3，故2b＝2／3．
�解法2：由e＝c／a＝1／2，p＝b2／c＝1及b2＝a2－c2，得b＝／3．从而2b＝2／3．
�说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．
�8．若复数z1、z2满足｜z1｜＝2，｜z3｜＝3，3z1－2z2＝（3／2）－i，则z1·z2＝______________．
�讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁．
�令z1＝2（cosα＋isinα），z2＝3（cosβ＋isinβ），则由3z1－2z2＝（3／2）－i及复数相等的充要条件，得

6（cosα－cosβ）＝3／2，

6（sinα－sinβ）＝－1，

即

－12sin（（α＋β）／2）sin（（α－β）／2）＝3／2，

12cos（（α＋β）／2）sin（（α－β）／2）＝－1．

�二式相除，得tg（α＋β）／2）＝3／2．
�由万能公式，得
�sin（α＋β）＝12／13，cos（α＋β）＝－5／13．
�故z1·z2＝6〔cos（α＋β）＋isin（α＋β）〕
�＝－（30／13）＋（72／13）i．
�说明：本题也可以利用复数的几何意义解．
�9．正方体ABCD－A1B1C11的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是______________．
�讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．

图2

�为了保证所作出的表示距离的线段与A1C1和BD1都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面BDD1B1，则A1C1⊥面BDD1B1，且BD1面BDD1B1．设A1C1∩B1D1＝0，在面BDD1B1内作OH⊥BD1，垂足为H，则线段OH的长为异面直线A1C1与BD1的距离．在Rt△BB1D1中，OH等于斜边BD1上高的一半，即OH＝／6．
�10．不等式｜（1／log1／2x）＋2｜＞3／2的解集为______________．
�讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得log1／2x＜－2，或－2／7＜log1／2x＜0，或log1／2x＞0．
�从而x＞4，或1＜x＜22／7，或0＜x＜1．
�11．函数y＝x＋的值域为______________．
�讲解：先平方去掉根号．
�由题设得（y－x）2＝x2－3x＋2，则x＝（y2－2）／（2y－3）．
�由y≥x，得y≥（y2－2）／（2y－3）．
�解得1≤y＜3／2，或y≥2．
�由于能达到下界0，所以函数的值域为〔1，3／2）∪〔2，＋∞）．
�说明：（1）参考答案在求得1≤y＜3／2或y≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．
�（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．

图3

�12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．
�讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F．按间隔三块A、C、E种植植物的种数，分以下三类．
�（1）若A、C、E种同一种植物，有4种种法．当A、C、E种植后，B、D、E可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．
�（2）若A、C、E种二种植物，有P42种种法．当A、C、E种好后，若A、C种同一种，则B有3种方法，D、F各有2种方法；若C、E或E、A种同一种，相同（只是次序不同）．此时共有P43×3（3×2×2）＝432种方法．
�（3）若A、C、E种三种植物，有P43种种法．这时B、D、F各有2种种方法．此时共有P43×2×2×2＝192种方法．
�根据加法原理，总共有N＝108＋432＋192＝732种栽种方案．
�说明：本题是一个环形排列问题．
�三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
�13．设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，且b1＝a12，b2＝a22，b3＝a32（a1＜a2）．又（b1＋b2＋…＋bn）＝＋1，试求｛an｝的首项与公差．
�讲解：这是一个有关等差、等比数列的基本问题．数列｛an｝与｛bn｝的前三项满足bi＝ai2（i＝1，2，3），由此可确定数列｛an｝的首项a1与公差d的关系；由（b1＋b2＋…＋bn）＝＋1便可求出a1和d的值．
�设｛an｝的公差为d，由a1＜a2，得d＞0．
�由b22＝b1b3，得a24＝a12a32．
�∴a22＝a1a3（舍去，否则a1＝a2＝a3），
� 或a22＝－a1a3．
�∴（a1＋d）2＝－a1（a1＋2d），
�即2a12＋4a1d＋d2＝0．
�解得d＝（－2±）a1．
�若d＝（－2－）a1，则q＝a22／a12＝（＋1）2＞1，不符合要求．
�若d＝（－2＋）a1，则q＝a22／a12＝（－1）2．
�由（b1＋b2＋…＋bn）＝＋1，得
�b1／（1－q）＝＋1，
�即a12／（1－（－1））2＝＋1．解得a12＝2．
�由a22＝－a1a3及a1＜a2知a1＜0．
�∴a1＝－，d＝（－2＋）a1＝2－2．
�14．设曲线C1：（x2／a2）＋y2＝1（a为正常数）与C2：y2＝2（x＋m）在x轴上方仅有一个公共点P．
�（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
�（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜1／2时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）．
�讲解：（1）可将曲线C1与C2的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题．

由

（x2／a2）＋y2＝1，

消去y，得

y2＝2（x＋m）

�x2＋2a2x＋2a2m－a2＝0． ①
�问题转化为方程①在区间（－a，a）上有惟一解或两个相等的实根．设f（x）＝x2＋2a2x＋2a2m－a2．
�当Δ＝0，即m＝（a2＋1）／2时，xP＝－a2．由－a＜－a2＜a，得0＜a＜1．这时方程①有等根．
�当f（－a）·f（a）＜0，即－a＜m＜a时，方程①在区间（－a，a）内有一个根（另一根在区间外）．
�当f（－a）＝0，即m＝a时，xP＝a－2a2．由－a＜a－2a2＜a，得0＜a＜1．这时方程①在区间（－a，a）内有惟一解；当f（a）＝0，即m＝－a时，xP＝－a－2a2．由－a＜－a－2a2＜a，得a∈．故m≠－a．
�综上所述，当0＜a＜1时，m＝（a2＋1）／2，或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．
�（2）∵A（－a，0），∴S△OAP＝（1／2）ayP．
�当0＜a＜1／2时，由（1）知－a＜m≤a．由方程①得xP＝－a2＋a．
�显然，xP＞0，从而yP＝．
�要使yP最大，则xP应最小．易知，当m＝a时，（xP）min＝a－2a2．从而（yP）max＝2．故（S△OAP）max＝a．
�当m＝（a2＋1）／2时，xP＝－a2．从而yP＝，故S△OAP＝（1／2）a．
�下面比较a与（1／2）a的大小．
�∵（）2－（（1／2））2
�＝…＝－（1／4）（3a－1）（a－1）．
�∴当0＜a≤1／3时，a≤（1／2）a；
� 当1／3＜a＜1／2时，a＞（1／2）a．

故（S△OAP）max＝

（1／2）a

（0＜a≤1／3），

a

（1／3＜a＜1／2）．

�说明：本题考查学生思维的严谨性．

图4

�15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6（a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6）的电阻组装成一个如图4的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论． �
讲解：设6个电阻的组件（如图5）的总电阻为RFG．当Ri＝ai（i＝3，4，5，6），R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小．
�用逐步调整法证明如下：

图5

�（1）当R1、R2并联时，所得组件阻值R满足1／R＝（1／R1）＋（1／R2）．若交换R1、R2，R不变，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．
�（2）设三个电阻的组件（如图6）的总电阻为RAB，则
�RAB＝（R1R2／（R1＋R2））＋R3＝（R1R2＋R1R3＋R2R3）／（R1＋R2）．
�显然，R1＋R2越大，则RAB越小，所以为使RAB最小，必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．

图6

图7

�（3）设四个电阻的组件（如图7）的总电阻为RCD，则
�1／RCD＝（1／RAB）＋（1／R4）
�＝（R1R2＋R1R3＋R1R4＋R2R3＋R2R4）／（R1R2R4＋R1R3R4＋R2R3R4）．
�记S1＝，S2＝，则S1、S2为定值．于是RCD＝（S2－R1R2R3）／（S1－R3R4）．
�显然，当R3R4最小，且R1R2R3最大时，RCD最小．故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜R1，才能使总电阻的阻值最小．
�（4）回到图5，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由（3）知必须使R6＜R5；且由（1）知应使RCE最小．由（2）知，要使RCE最小，必须使R5＜R4，且应使RCD最小．而由（3）知，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1．
�综上所述，按照图5选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小．
�说明：根据电学知识，两个电阻并联，其组件的阻值小于这两个电阻中阻值最小的一个，所以，本题也可以倒过来思考．