Question

在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,点E是DC延长线上一点,BF⊥AE于F，并交AD于M，CN⊥AE于N

(1)证明：BM=AE
TU

Answer 1

由题，AB=AC,∠BAC=90°，则△ABC是等腰直角三角形。
因为D是BC中点，根据等腰直角三角形中位线定理可得AD⊥BC，即∠ADC=90°
因为CN⊥AE，即∠CNE=90°,则∠ADC=∠CNE
又∠CEN=∠AED,根据三角形相似定理：两角对应相等两三角形相似，得出△CNE∽△ADE
所以∠NCE=∠DAE
因为直线EF与MD交与A点，所以∠MAF=∠DAE，
即∠CEN=∠NCE
因为EF⊥BM，所以∠BMA=∠AEC
因为D是BC中点，根据直角三角形中位线定理得出，AD⊥BC且AD=BD=CD.
所以三角形ADB是等腰直角三角形，
即∠BAD=∠ABD=45°
因为∠ACD=45°，所以∠ACD=∠BAD
又因为∠ACD + ∠ACE=∠BAD + ∠BAM=180°
所以∠ACE=∠BAM.
因为∠AEC=∠BMD，根据三角形内角和诗180°，则∠CAE=∠MBA，又AB=AC
根据全等三角形判定定理：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，得出△ACE≌△BAM
根据全等三角形性质定理
得出BM=AE