Question

高中抽象函数

设函数f(x)是定义在R的减函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
求f(1)
如果f(x)+f(2-x)小于2,求x的取值范围
详细解答

Answer 1

令x=1 y=1/3

f(1*1/3)=f(1)+f(1/3)

f(1)=0

f(x)+f(2-x)<2=1+1
f(x)+f(2-x)<2=f(1/3)+f(1/3)

f(x)+f(y)=f(xy)
f(2=f(1/3*1/3)
函数f(x)是定义在R的减函数

x*(2-x)>1/9

1-(2根号2)/3<x<1+(2根号2)/3

其实从f(xy)=f(x)+f(y),可以看出这是与对数性质相类似的即
logxy=logx+logy
做选择题可以直接对数函数来作为f(x)的一个表达式