Question

函数间断点怎么判断

Answer 1

这里有几个关键的，这几个关键地方掌握了，这道题目几乎不用计算，仅凭目测就能知道各个间断点的类型，这对于做填空题、选择题、判断题能节省不少时间。即使对做计算题，对结果有了预知，算起来也不容易错。
分母在x=0、x=1、x=-1这三个点时，分母为0，所以这三个点是其间断点。
你看，分母中有个|x|，这就是个关键点。因为|x|在x大于0和x小于0的时候，是不同的表达式。当x＞0时，|x|=x，当x＜0时，|x|=-x
所以f（x）在x＞0和x＜0的时候，有不同的表达式。因此从x＜0方向趋近于0（x=0时的左极限）和从x＞0的方向趋近于0（x=0时的右极限）需要用不同的表达式。所以左右极限可能会不一致。但是因为分子也有x这个因式（分子x²-x=x（x-1）），所以无论是x＞0还是x＜0，分子分母的x在求极限时，都可以约去。所以x=0这点有左右极限，但左右极限不相等，是跳跃间断点，属于第一类间断点。
x=1时，在x=1附近，x都是正数，|x|表达式不变，就是x，所以f（x）在x=1左右表达式不变。所以这个点的左右极限情况相同，如果有，左右极限相等；如果一个无，另一个也无。而分子分母都有x-1这个因式，可以约去。所以左右极限存在且相等，是可去间断点，属于第一类间断点。
x=-1这个点附近x都是负数，所以f（x）在x=-1附近表达式不变，因为x趋近于-1时，分母极限为0，分子极限不是0，所以极限是无穷大，是无穷间断点，属于第二类间断点。
这样子，不需要具体计算，直接目测就能判断了。

Answer 2

Answer 3

（1）讨论函数的分式部分使分母为零的点的函数的左右极限；
（2）讨论分段函数分段点处函数的左右极限和函数值的关系。
找到这些点后，其他判断准则，一般的教科书上都有。即：lim(x→x0)f(x)=f(x0)要求的三要素：
（1）lim(x→x0)f(x)的存在性；
（2）f(x0)的存在性
（3）是否相等。

Answer 4

一、对于一般函数：
1、找函数的无定义点（此题为x=0）
2、看无定义点的左右极限是否相等。若相等，则为可去间断点，若不相等，则为不可去间断点。
二、对于分段函数：
1、找函数的分段点（例如x=x0点），
2、看x0点的左右极限是否相等。若相等，且=f(x0)，则无间断点；若相等，但≠f(x0)，则为可去间断点；若不相等，则为不可去间断点。