Question

高中椭圆问题，急！！！

椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1(a>b>0)与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP垂直于OQ，其中O为坐标原点。
（1）求1/a^2+1/b^2的值
（2）若椭圆的离心率e满足 （根号3）/3<=e<=（根号2）/2 ，求椭圆长轴的取值范围

Answer 1

设p（x1，y1），q（x2,y2），垂直我们可以得出他们的斜率相差为-1，可得式子y1y2=-x1x2。再联立椭圆和直线可得x1+x2=2a^2/（a^2+b^2）,x1*x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)，由Q，P在直线上所以最后 可得2a^2b^2=a^2+b^2最后两边除以a^2b^2可知1/a^2+1/b^2的值为2

Answer 2

解：

把x+y=1代入x^2/a^2+y^2/b^2=1

（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2-b^2=0

X1+X2=2a^2/(a^2+b^2) X1X2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2

OP.OQ=0=>X1X2+Y1Y2=0=>2a^2b^2=a^2+b^2

1/a^2+1/b^2=a^2+b^2/a^2b^2=2 （*）

√3/3<=e<=√2/2

1/3<=e^2=1-b^2/a^2<=1/2

2/3>=b^2/a^2>=1/2

i) b^2/a^2=1/2 时
代入（*）
得a=√6/2

ii) b^2/a^2=2/3 时

代入（*）
得a=√5/2

椭圆长轴的取值范围 [√5,√6]

Answer 3

我不懂