Question

已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有二等根

1 求证a，b，c为等差数列
2 求角B取值范围

Answer 1

1,
由正弦定理设：sinA/a=sinB/b=sinC/c=k≠0
所以，sinA=ak,sinB=bk,sinC=ck
由方程有二等根得：
(sinA-sinC)²-4(sinB-sinA)(sinC-sinB)=0
即(ak-ck)²-4(bk-ak)(ck-bk)=0
(a-c)²-4(b-a)(c-b)=0
上式可变形为：
[(a-b)+(b-c)]²-4(a-b)(b-c)=0
[(a-b)-(b-c)]²=0
所以，a-b=b-c,2b=a+c
所以，a,b,c为等差数列
2,
cosB=(a²+c²-b²)/2ac=[(a+c)²-2ac-b²]/2ac
=(3b²-2ac)/2ac
=(3/2)(b²/ac)-1
因，(2b)²=(a+c)²≥4ac,所以，b²≥ac
所以，(3/2)(b²/ac)-1≥3/2-1=1/2
又-1<cosB<1,
所以1/2≤cosB<1
所以，0<B≤60°

Answer 2

1、
证
2 B = A + C

2、
韦达公式