Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)②函数f(x)的图像与y=

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)②函数f(x)的图像与y=x相切
(1)求f（x）的解析式
(2)当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时,f(x-t)≤x恒成立,试求t,m的值

Answer 1

（1）由对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)可知f(x)关于x=3对称,因此f(x)=ax2+bx对称轴x=-b/(2a)=3，有b=-6a
由函数f(x)的图像与y=x相切得ax2+bx=x有两相等实根，即化为x[ax+(b-1)]=0,x=-(b-1)/a=0,则b=1
所以a=-1/6,b=1,则f(x)=-1/6*x2+x
（2）f(x-t)≤x恒成立，则化为1/6*（x-t）^2+t>=0在x∈[4，m]（m＞4）时恒成立，令F(x)=1/6*（x-t）^2+t，分为以下三类：
（i）t<=4时，F(x)min=F(4)>=0恒成立,求出t的范围
（ii）t>=m时，F(x)min=F(m)>=0恒成立，求出t和m的范围
(iii)4<t<m时，F(x)min=F(t)>=0恒成立,求出t和m的范围