Question

证明的射影定理的证明

Answer 1

可以只用勾股定理来证明。
①CD^2=AD×BD;②AC^2=AD×AB;③BC^2=BD×AB;④AC×BC=AB×CD
证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BA^2
∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2
∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2
∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=2AD×BD ∴CD^2=AD×BD
②∵CD^2=AD×BD(已证) ∴CD^2+AD^2=AD×BD+AD^2 ∴AC^2=AD×(BD+AD) ∴AC^2=AD×AB
③∵BC^2=DC^2+BD^2 且DC^2+BD^2=AD×BD+BD^2=(AD+BD)÷BD=AB×BD ∴BC^2=AB×BD
④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴AC×BC=AB×CD 用三角函数证明
由等积法可知：AB×BC=BD×AC
在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB
故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD
得：AB2=AD×AC 同理可得BC²=CD·CA
在Rt△ABD和Rt△BCD中
tan∠BAD=BD/AD， cot∠BCD=CD/BD
又∵tan∠BAD=cot∠BCD
故BD/AD=CD/BD
得BD2=AD×CD