Question

高二数学，帮帮忙！

已知圆C：（x-1)方+（y-2)方=25，直线l：（2m+1)x+(m+1)y-7-4=0
（1）求证 直线l恒过定点
（2）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度

Answer 1

(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
2mx+x+my+y-7m-4=0
(2x+y-7)m=4-x-y
当2x+y-7=0,4-x-y=0时，等式恒成立
解得x=3，y=1
所以直线恒过P(3,1)
（2）当弦过圆心时,弦最长 .当弦垂直于CP时,弦最短.
圆心(1,2),半径是5
(3,1)和(1,2)的距离是根号[(3-1)²+(1-2)²]=根号5
所以最短弦长=2根号[5^2-5]=4根号5
PC的斜率是k=(2-1)/(1-3)=-1/2
所以直线的斜率是-1/(-1/2)=2
即:-(2m+1)/(m+1)=2
-2m-1=2m+2
m=-3/4.