求罗尔定理的证明
证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:
1. 若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。
2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f'(ξ)=0。
另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。
扩展资料:
罗尔(Rolle)中值定理是微分学中一条重要的定理,是三大微分中值定理之一,其他两个分别为:拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。
罗尔定理描述如下:
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。
参考资料:百度百科----罗尔中值定理
罗尔定理的证明
证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:
若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。
2. 若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f'(ξ)=0。
另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB,除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等,则在弧 AB 上至少有一点 C,使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
扩展资料:
在 (0,1) 内有实根。
则 F(x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,
在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。
参考资料:百度百科——罗尔中值定理
因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以存在最大值与最小值,
分别用M和m表示,分两种情况讨论:
1. 若M=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数,结论显然成立
2. 若M>m,则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得,f(x)在ξ处取得极值,由费马定理推知:f'(ξ)=0
因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以存在最大值与最小值,
分别用M和m表示,分两种情况讨论:
1. 若M=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数,结论显然成立
2. 若M>m,则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得,f(x)在ξ处取得极值,由费马定理推知:f'(ξ)=0
定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点c,使f'(c)=0.
证明:函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则f(x)在闭区间[a,b]一定有最大值M与最小值m.
当M=m,则f(x)在闭区间[a,b]是常数函数,常数函数的导数为零,(a,b)中任意一点c,使f'(c)=0.
如果m
罗尔定理证明过程书本上有的,如下
因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以存在最大值与最小值,
分别用M和m表示,分两种情况讨论:
1. 若M=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数,结论显然成立
2. 若M>m,则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得,f(x)在ξ处取得极值,由费马定理推知:f'(ξ)=0
证明:假设罗尔定理不成立,即题设条件成立下任意ξ属于(a,b),f'(ξ)不等于0。又f(x)在【a,b】内可导,则f(x)在【a,b】内无极值点,又f(x)在【a,b】内连续,则f(x)在【a,b】必单调递增或递减,这与f(a)=f(b)相矛盾,因此假设不成立,罗尔定理成立。