求罗尔定理的证明
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
扩展资料：
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
参考资料:百度百科----罗尔中值定理
罗尔定理的证明
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
扩展资料：
用罗尔中值定理证明：方程3 
在 (0,1) 内有实根。
证明： 设
则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，
在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。
参考资料：百度百科——罗尔中值定理
因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，
分别用M和m表示，分两种情况讨论：
1. 若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数，结论显然成立
2. 若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马定理推知：f'(ξ)=0
因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，
分别用M和m表示，分两种情况讨论：
1. 若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数，结论显然成立
2. 若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马定理推知：f'(ξ)=0
定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,开区间（a,b）可导,f(a)=f(b),则在（a,b）内至少存在一点c,使f'(c)=0.
证明：函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则f(x)在闭区间[a,b]一定有最大值M与最小值m.
当M=m,则f(x)在闭区间[a,b]是常数函数,常数函数的导数为零,（a,b）中任意一点c,使f'(c)=0.
如果m
罗尔定理证明过程书本上有的，如下
因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，
分别用M和m表示，分两种情况讨论：
1. 若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数，结论显然成立
2. 若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马定理推知：f'(ξ)=0
证明：假设罗尔定理不成立，即题设条件成立下任意ξ属于（a,b）,f'(ξ)不等于0。又f(x)在【a,b】内可导，则f(x)在【a,b】内无极值点，又f(x)在【a,b】内连续，则f(x)在【a,b】必单调递增或递减，这与f(a)=f(b)相矛盾，因此假设不成立，罗尔定理成立。
