Question

已知函数f(x)对任意实数a、b,都有成立f(ab)=f(a)+f(b)求证：f(1/x)=-f(x)

Answer 1

由f(ab)=f(a)+f(b),令a=b=1时，则 f(1)=2f(1)，得 f(1)=0；
令a=x，b=1/x时，则f(1)=f(x)+f(1/x)=0，则f(1/x)=-f(x)

Answer 2

证明如下,由²f(ab)=f(a)+f(b)
令a=x=b,则有f(x²)=f(x)+f(x)=2f(x)即 f(x²)=2f(x)
也就是说有f(1/x²)=2f(1/x)
再令a=x,b=1/x² 则有:
f(1/x)=f(x)+f(1/x²)=f(x)+2f(1/x)变形有
f(1/x)=-f(x)

Answer 3

由题有：f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)=f(1)
所以有f(1)=1
又f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0
则有：f(1/x)=-f(x)

Answer 4

x=y=1
f(1)=2f(1),f(1)=0
f(x)+f(1/x)=f(1)=0
f(1/x)=-f(x)

Answer 5

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2010年中考试题分类汇编（二次函数）含答案
一、选择题
1、（2007天津市）已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）其中正确的结论有（ ）B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．B
（A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③
3、（2007广州市）二次函数 与x轴的交点个数是（ ）B
A．0 B．1 C．2 D．3
4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）A
O
x
y
O
x
y
O
x
y

x
y
A
B
C
D

5、（2007四川资阳）已知二次函数 (a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x0时，函数值y随x的增大而增大
B. 当x0时，函数值y随x的增大而减小
C. 存在一个负数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而减小；当x x0时，函数值y随x的增大而增大
D. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而减小；当xx0时，函数值y随x的增大而增大
6、（2007山东日照）已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）B
(A) m-1的函数值小于0 (B) m-1的函数值大于0
(C) m-1的函数值等于0 (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定
图8
二、填空题
1、（2007湖北孝感）二次函数y =ax2＋bx＋c 的图象如图8所示，
且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，
则P、Q的大小关系为 . PQ
O
y

2、（2007四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数 的图象，那么 的值是 ．－1
x
y
O
第4题
（第3题）
3、（2007江西省）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的解为 ．
， ；
4、（2007广西南宁）已知二次函数 的图象如图所示，则点 在第 象限． 三
三、解答题
1、（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是 、B（1，0），且经过点C（2，8）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标。
解：（1）设这个抛物线的解析式为
由已知，抛物线过 ，B（1，0），C（2，8）三点，得
（3分）解这个方程组，得
∴ 所求抛物线的解析式为 （6分）
（2）
∴ 该抛物线的顶点坐标为
2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标．
解：（1）设二次函数解析式为 ，
二次函数图象过点 ， ，得 ．
二次函数解析式为 ，即 ．
（2）令 ，得 ，解方程，得 ， ．
二次函数图象与 轴的两个交点坐标分别为 和 ．
二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与 轴的另一个交点坐标为
图10
3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是 ，且过点 ．
（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数 ，点 都不在这个
二次函数的图象上．
解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为 ，··································· 2分
又点 在它的图象上，可得 ，解得 ．
1
2
3
3
2
1
0
y
x
所求为 ． 令 ，得
画出其图象如右．
（2）证明：若点 在此二次函数的图象上，
则 ． 得 ．
方程的判别式： ，该方程无解．
所以原结论成立．

图9
4、（2007贵州省贵阳）二次函数 的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 的两个根．（2分）
（2）写出不等式 的解集．（2分）
（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．（2分）
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．（4分）
解：（1） ，
（2）
（3）
（4）

x
y
O
3
－9
－1
－1
AB图13
5、（2007河北省）如图13，已知二次函数 的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得
解得 ∴二次函数的表达式为 ．
（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入 ，得 ，
解得 ．∵m＞0，∴ 不合题意，舍去．
∴m=6．∵点P与点Q关于对称轴 对称，∴点Q到x轴的距离为6．
6、（2007四川成都）在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，其顶点的横坐标为1，且过点 和 ．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由；
y
x
1
1
O
（3）若点 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 与 的大小（不必证明），并写出此时点 的横坐标 的取值范围．
解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点 和 ，
由 解得
此二次函数的表达式为 ．
（2）假设存在直线 与线段 交于点 （不与点 重合），使得以 为顶点的三角形与 相似．
在 中，令 ，则由 ，解得
． y
x
B
E
A
O
C
D
令 ，得 ． ．
设过点 的直线 交 于点 ，过点 作 轴于点 ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
．
要使 或 ，
已有 ，则只需 ， ①
或 ② 成立．
若是①，则有 ．而 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
解得 （负值舍去）． ．
点 的坐标为 ．将点 的坐标代入 中，求得 ．
满足条件的直线 的函数表达式为 ．
〔或求出直线 的函数表达式为 ，则与直线 平行的直线 的函数表达式为 ．此时易知 ，再求出直线 的函数表达式为 ．联立 求得点 的坐标为 ．〕
若是②，则有 ．而 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
解得 （负值舍去）． ． 点 的坐标为 ．
将点 的坐标代入 中，求得 ． 满足条件的直线 的函数表达式为 ．
存在直线 或 与线段 交于点 （不与点 重合），使得以 为顶点的三角形与 相似，且点 的坐标分别为 或 ．
（3）设过点 的直线 与该二次函数的图象交于点 ．
将点 的坐标代入 中，求得 ． 此直线的函数表达式为 ．

设点 的坐标为 ，并代入 ，得 ．
解得 （不合题意，舍去）． ．
点 的坐标为 ．此时，锐角 ．
又 二次函数的对称轴为 ，
点 关于对称轴对称的点 的坐标为 ．
当 时，锐角 ；当 时，锐角 ；
当 时，锐角 ．
7、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．
(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为
—1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；
(3)求边C’O’所在直线的解析式．
8、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t= ，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．
（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；
（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.
解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得
解之，得
∴线段l的函数关系式为M＝13000t+2000, 1≤t≤8.
由t= 知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，
把t=1代入M＝13000t+2000中，得M=15000 m2.
即开发该小区的用地面积是15000 m2.
（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a( t－4)2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得 解之，得
∴抛物线段c的函数关系式为 Q＝ ( t－4)2+ ,即Q＝ t2- t + , 1≤t≤8.
9、（2006四川资阳）如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x
…
-3
-2
1
2
…
y
…
-
-4
-
0
…
图10
(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.