Question

如图三重积分的球面坐标计算法。

Answer 1

如果r的范围是0~1，那么试问区域 x^2+y^2+z^2=1 的r的范围多少？也是1，那岂不是与题目中的Ω矛盾？这类问题的基本方法是代入球坐标系与直角坐标的转换关系，参考下图：

追问

积分区域的r和球坐标的r有联系吗？不是相互独立吗

追答

积分区域的r就是球坐标系的极径r，但是和球的半径没有关系

Answer 2

Ω: x^2+y^2+z^2 = z, 即 r^2 = rcosΦ, 则 r = cosΦ， r 从 0 到 cosΦ
r = 1 表示单位球 x^2+y^2+z^2 = 1， 不是本题 的 x^2+y^2+z^2 = z