Question

高中解析几何...

已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y^2=2px(p>0)上有异于坐标原点O的两点A、B，且直线OA、OB的倾斜角分别为a、b。当a、b变化且a+b为定值c时(0<c<π,且c≠π/2)，证明AB恒过定点，并求出此定点坐标。

Answer 1

解：可设点A(2pm²,2pm),B(2pn²,2pn).(mn≠0,m≠n).∴直线AB:x-(m+n)y+2pmn=0.且tana=Koa=1/m,tanb=Kob=1/n.又tanc=tan(a+b)=（tana+tanb)/(1-tanatanb)=1/m+1/n)/(1-1/mn)=(m+n)/(mn-1).===>tanc=(m+n)/(mn-1).===>(mn)tanc=(m+n)+tanc.===>直线AB:xtanc-(m+n)ytanc+2ptanc+2p(m+n)=0.===>(x+2p)tanc+(m+n)(2p-ytanc)=0.显然x=-2p,y=2p/tanc满足上式，∴直线AB过定点(-2p,2p/tanc).

Answer 2

设OA、OB的方程分别为y=xtana,y=xtanb，分别带入圆的方程可得
x²tan²a=2px， x²tan²b=2px，解得
x=2p/tan²a,x=2p/tan²b
这就是A、B两点的横坐标，对于的A、B的纵坐标就是
y=2p/tana,y=2p/tanb，于是得到A、B两点的坐标为
(2p/tan²a,2p/tana)、(2p/tan²b,2p/tanb)
用两点式弄出AB的方程为
[y-(2p/tana)]/[x-(2p/tan²a)]=[(2p/tanb)-(2p/tana)]/[(2p/tan²b)-(2p/tan²a)]
化成一般式就可得到结果
以下略

Answer 3

这个定点应该就是 抛物线的焦点。高中的时候做过类似的题目！你验证一下！这个问题高考的时候一般在填空题的比较多！多记一下类似的结论！