Question

能不能看看我的解法是对的吗？

能不能看看我的解法是对的吗？如果不对，请帮我看看不用哈密特凯莱定理得解法。谢谢啦

Answer 1

前3行证明是对的，后面就有问题了。
事实上，要证明，取定t值后（你取的是t=1），对矩阵A所有的特征值（肯定有特征值1，而特征值-1的个数是2或者0），都满足x^3-tx^2+tx-1=0
才能证明此时A^3-tA^2+tA-E=0成立

而其实，x^3-x^2+x-1=0对于特征值-1来说，是不可能成立的。

正确的证法（应该取t=-1，下面来说明）：

x^3-tx^2+tx-1=0
即
x^3-1-tx(x-1)=0
也即
(x-1)(x^2+(1-t)x+1)=0
取t=-1时，上式，即
(x-1)(x+1)^2=0
对x=1,-1都成立

即此时A^3+A^2-A-E=0成立

追问

那请问ax=x可以带入吗

对于特征值1

请问特征向量有没有逆的存在？

Answer 2

正交阵只是知道行列式为正负1，不应该直接推出来一个特征值为1，也可能是6，3分之1，2分之1，这样他们乘积也为1的。
还有题目就是这样的吗？感觉还是有点怪怪的

追问

题目是这样的