(1+根号2)分之一+(根号2+根号3)分之一+(根号3+根号4)分之一......+(根号2005+根号2006)分之一+(根号2006+
(1+根号2)分之一+(根号2+根号3)分之一+(根号3+根号4)分之一......+(根号2005+根号2006)分之一+(根号2006+根号2007)分之一等于多少?...
(1+根号2)分之一+(根号2+根号3)分之一+(根号3+根号4)分之一......+(根号2005+根号2006)分之一+(根号2006+根号2007)分之一等于多少?
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解：原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+……+√2007-√2006
=-1+√2007
=-1+√2007
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∵[√(n+1)+√n]×[√(n+1)-√n]=(n+1)-n=1.∴1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n.∴原式=（√2-√1）+(√3-√2)+(√4-√3)+...+(√2007-√2006)=√2007-1=3√223-1.
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因为1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n（分子分母同乘以√(n+1)-√n）
所以(1+根号2)分之一+(根号2+根号3)分之一+(根号3+根号4)分之一......+(根号2005+根号2006)分之一+(根号2006+根号2007)分之一=√2-1+√3-√2+√4-√3+……+√2007-√2006=√2007-1=3√223-1
所以(1+根号2)分之一+(根号2+根号3)分之一+(根号3+根号4)分之一......+(根号2005+根号2006)分之一+(根号2006+根号2007)分之一=√2-1+√3-√2+√4-√3+……+√2007-√2006=√2007-1=3√223-1
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