Question

z=x^2+y^2 与z^2=x^2+y^2 表示空间曲面有什么不同

Answer 1

z=x^2,绕z轴旋转成的单叶双曲面，z^2=x^2+y^2是以z轴为轴的圆锥曲面。

设空间曲面方程为F（x，y，z）=0  

那么它在点（x0，y0，z0）处的切平面的法向量可以表示为  

n0=（F'x（x0，y0，z0），F'y（x0，y0，z0），F'z（x0，y0，z0））  

所以切平面方程为  

F'x（x0，y0，z0）（x-x0）+F'y（x0，y0，z0）（y-y0）+F'z（x0，y0，z0）（z-z0）=0。

曲面的性质：

微分几何研究的对象，直观上，曲面是空间具有两个自由度的点的轨迹。曲面可用方程Z＝f（x，y）或F（x，y，z）＝0来表示。

也可用参数方程x＝j（u，v），y＝ψ（u，v），z＝c（u，v）表示。在最简单的曲面中，除平面外，有旋转面和二次曲面。曲面还有直纹面、可展曲面、极小曲面、多面曲面、单侧曲面等。

Answer 2

前面是z=x^2,绕z 轴旋转成的单叶双曲面。

z^2=x^2+y^2 是以z轴为轴的圆锥曲面。