Question

高等数学，这题看不懂过程，求解答

Answer 1

　　解：分享一种解法，用初等方法求解。
　　∵椭圆方程为(x^2)/4+y^2=1，∴其参数方程可设为x=2cost，y=sint，由点到直线的距离公式，有d=丨4cost+3sint-6丨/(2^2+3^2)=丨5sin(α+t)-6丨/(13)^(1/2)，其中α=arctan(4/3)，
　　显然，当α+t=π/2时，d有最小值1/(13)^(1/2)。此时cost=sinα=4/5、sint=cosα=3/5，有x=2cost=8/5、y=sint=3/5。即椭圆上的点（8/5,3/5）到直线2x+3y-6=0的距离最短，为1/√(13)。
　　供参考。

追问

我知道这种方法，大学里学的是这种我写的

追答

　　如要用拉格朗日乘数法，则F(x,y,λ)=d^2+λ(4-x^2-4y^2)=(1/13)(2x+3y-6)^2+λ(4-x^2-4y^2)。
　　由F(x,y,λ)求出对x、y、λ的偏导数，并令其=0，有Fx(x,y,λ)=(4/13)(2x+3y-6)-2λx=0①、Fy(x,y,λ)=(6/13)(2x+3y-6)-8λy=0②、Fλ(x,y,λ)=4-x^2-4y^2=0③。
　　由①②消去λ，有3x=8y，代入③，解得x=±8/5，y=±3/5。即驻点为(8/5,3/5)、(-8/5,-3/5)。
　　由题目图形可知，在点(8/5,3/5)取得最小值d=1/√(13)。供参考。