Question

求幂级数∑（上面∞，下面n＝0）x的n次方/n+1的和函数，求详细过程！！

Answer 1

先求收敛区间，由于lim(n趋于∞)|an+1/an|=1，故R=1.在x=1点，幂级数变成发散的，在x=-1点，幂级数变成收敛的，因此收敛区间是[-1，1)，设f(x)=∑（0,∞）x^n/(n+1)，n∈[-1，1)于是xf(x)=∑（0,∞）x^(n+1)/(n+1)，两端对x求导，得
[xf(x)]'=∑（0,∞）[x^(n+1)/(n+1)]'=∑（0,∞）x^n=1/1-x
x∈(-1，1)
对上式两端从0到x积分，得xf(x)=-ln(1-x)
当x≠0时，有
f(x)=-1/xln(1-x)，而f(0)=1，所以f(x)须分段，，，

Answer 2

解：∑（0,∞）x^n/(n+1)
=1/x*∑（0,∞）x^(n+1)/(n+1)
令f(x)=∑（0,∞）x^(n+1)/(n+1)
则f'(x)=∑（0,∞）x^n=1/(1-x)
两边对x积分得
f(x)=-ln(1-x)
故和函数为-ln(1-x)/x，|x|<1

Answer 3

^表示次方

f(x)=x/1+x^2/2+x^3/3+……+x^n/n

f'(x)=1+x+x^2+……+x^(n-1)=1/(1-x),(要使级数收敛,|x|<1)

∴f(x)=∫f'(x)dx=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)

即f(x)=-ln(1-x)