Question

求1/2+1/3+1/4+.......等于多少

求1/2+1/3+1/4+.......等于多少高等数学命题，调和级数。我想要答案的具体数值而不是公式，谢谢。

Answer 1

这个的结果是发散的,即当n无穷大,其和无穷大

学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：

由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln (1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.
于
是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.
在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1
/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1
/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-
ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

追问

那最后答案具体数值大概是多少啊

哦哦

那如果n=100，结果是？

追答

Sn结果是发散的,即当n无穷大,其和无穷大.无具体数值.

1+1/2+1/3+……+1/n
=ln(n)+γ，(γ为欧拉常数)

γ近似值约为0.57721566490153286060651209

1+1/2+1/3+……+1/n
=ln(n)+γ
=ln(n)+0.57721566490153286060651209

Answer 2

利用“欧拉公式” ，1+1/2+1/3+……+1/n  =ln(n)+C，(C为欧拉常数) ，所以没有具体值。
欧拉常数近似值约为0.57721566490153286060651209

在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

Answer 3

利用“欧拉公式” 
 1+1/2+1/3+……+1/n 
 =ln(n)+C，(C为欧拉常数) 
没有具体值
 欧拉常数近似值约为0.57721566490153286060651209 
 这道题用数列的方法是算不出来的 
 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n 
 >ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) 
 =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] 
 =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

追问

那最后答案的数值是多少啊？

追答

0.57721566490153286060651209

约值

目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080。

算不出精准数

追问

那如果n=100，结果是？

大概多少呢？

追答

5.2左右吧

Answer 4

这个结果是发散的，没有极限

Answer 5

既然你知道这需要高等数学也知道这是调和级数，那为什么你不知道调和级数没有精确解析式呢
近似解析式为∑(k=1 to n)1/k=ln(n+1)+γ，其中γ是欧拉常数

追问

是啊是啊我知道没有精确解析式，我就问问具体数值啊，毕竟我高一水平近似解析式看不懂

那如果n=100，结果是？

追答

好吧…高一应该学过对数吧…那么这个近似解析式应该是看得懂的…只是γ的推导过程需要高等数学

n=100时近似值ln(101)+γ≈5.192336182

另外调和级数是发散的，也就是说这个级数一直加下去，答案是无穷大

追问

明白了，谢谢