Question

设函数f(x)的定义域为R，且满足下列两个条件:（1）存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);（2）对任意x∈R，有f(x+y)=

问题补充：设函数f(x)的定义域为R，且满足下列两个条件:（1）存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);（2）对任意x∈R，有f(x+y)=f(x)*f(y),(1)求f（0），（2）求证：对任意x,y∈R，f(x)>0恒成立

Answer 1

因为对任意x∈R，有f(x+y)=f(x)*f(y)
那么f(0+0)=f(0)*f(0)
解得f(0)=0或者f(0)=1
当f(0)=0时 f(x+0)=f(x)=f(x)*f(0)=0使得不存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2）
所以f(0)=1
(2)f(x-x)=f(x)*f(-x)=f(0)=1
则f(x)=1/f(-x)=f(x/2)^2 (f(-x)≠0)
故f(x)>0