Question

1^2+2^2+3^2+4^+.......+n^2=?,为什么？需要详细的推导过程，谢谢！

Answer 1

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

这个可以推出来的
课本上是用
完全归纳法
其实还有一种
由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以
2
^3
=
1
^3
+
3*
1
^2
+
3*
1
+
1
3
^3
=
2
^3
+
3*
2
^2
+
3*
2
+
1
4
^3
=
3
^3
+
3*
3
^2
+
3*
3
+
1
5
^3
=
4
^3
+
3*
4
^2
+
3*
4
+
1
…
…
n
^3
=
(n-1)^3
+
3*(n-1)^2
+
3*(n-1)
+
1
(n+1)^3
=
n
^3
+
3*
n
^2
+
3*
n
+
1
上面所有式子相加，并在两边同时减去相同的项：
(n+1)^3
=
1^3
+
3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n
不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为s。
则n^3+3n^2+3n+1=1+3*s+3*(1+n)*n/2+n
化简得：s=n(n+1)*(2n+1)/6