Question

求取整函数的不定积分怎么理解啊？没看懂

Answer 1

答：
弄明白这个问题，还真不能仅仅从积分本身入手！
1、取整函数并不是连续函数，因此，根据积分基本定理，经典理论表明其不存在积分，分析其函数特性y=[x]，发现虽然是属于第二类间断点，但是因为积分在某个点上的值是不存在的，因此，根据目前的积分定义，其是可积函数；
2、由1分析可知，因为其跳跃间断点的特性，我们只能采用分段积分的方式来求解！
3、因为直接求y=[x]的原函数是不可能的，因此，根据2的情况，再利用定积分和不定积分的关系：牛莱公式（牛顿比爱因斯坦牛！），可以考虑先转换成定积分，即：
令：∫[x]dx=F(x)+C'，则：∫(0，x) [x]dx = F(x)-F(0)
因此:
∫[x]dx=∫(0，x) [x]dx + C ，其中：C=F(0)+C'
不失一般性，可以设x>0，实际上x<0和此相同！
以下分析以x>0为例！
4、根据y=[x]的特性，分段能积分的范围，一定要分成连续段，最好以跳跃间断点为边界，因此：
∫[x]dx
=∫(0，x) [x]dx + C
=∫(0，[x]) [x]dx + ∫([x],x) [x]dx .........................此处用到广义积分定义！
5、分析∫(0，[x]) [x]dx，显然，区间0，[x]并非连续区间，直接求积分不仅没有办法求，而且还是包括间断点，因此，根据4分析，可得：
∫(0，[x]) [x]dx
=∫(0，1) [x]dx+∫(1,2)[x]dx +∫(2,3)[x]dx+.........+∫([x]-1,[x])[x]dx
=Σ(k:0→[x]-1) ∫(k,k+1) [x]dx
很显然，在区间(k,k+1)上，函数y=[x]是常数k，因此：
∫(0，[x]) [x]dx
=Σ(k:0→[x]-1) ∫(k,k+1) [x]dx

=Σ(k:0→[x]-1) k ..............................................等差数列
=[x](0+[x]-1)/2
=（[x]²-[x]）/2
6、根据5的分析，显然∫([x],x) [x]dx在([x],x)是连续的，此时y=[x]依旧是常数[x]，因此：
∫([x],x) [x]dx
=[x]∫([x],x) dx
=[x](x-[x])
7、综合上述分析结果：
原式
=（[x]²-[x]）/2 + [x](x-[x]) +C
=x[x]-([x]²+[x])/2 + C
本题考查了积分的定义，其实没有什么意思！