Question

求lim(tanx-sinx)/sinx∧3 (x→0) 为什么不能把原试拆开为lim tanx/sinx∧3 - lim

求lim(tanx-sinx)/sinx∧3 (x→0)
为什么不能把原试拆开为lim tanx/sinx∧3 - lim sinx/sinx∧3 之后用进行等价无穷小替换，但计算出的结果与答案不等，标答是0.5，这种是0。为什么？？？谢谢

Answer 1

因为tanx精确的说是近似与x/√（x*x+1），这类应用无穷近似值求极限不能简单粗暴的把lim（A+B）拆成=limA+limB，而得先应用三角函数转化，把（tanx-sinx）=（1-cosx）sinx/cosx=2sin（x/2）sin（x/2）sinx/cosx再应用替换，基本都必须把和差形变换成乘除形

追问

为什么不可以拆？？

追答

因为应用到无穷近似值的基本都不能拆成limA+limB，本来就是数值差精细的近似值，只能再一个表达式（A+B）里做代换，只能积替换，而不是直接替换。